n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?

Niklaus Vonderflu — Thu, 02 Aug 2007 02:49:00 +0200

photo : hello_jed

Démontrez qu'il est impossible que le produit de quatre nombres entiers successifs supérieurs à 0 soit un carré.

Autrement dit que pour tout entier x et pour tout entier y différents de 0,

x(x+1)(x+2)(x+3) est différent de y²

On peut d'abord s'en convaincre par tâtonnements :

1 x 2 x 3 x 4 = 24 ; notons que 25 = 5 x 5

2 x 3 x 4 x 5 = 120 ; notons aussi que 121 = 11 x 11

3 x 4 x 5 x 6 = 360 ; notons enfin que 361 = 19 x 19

Il semble que tout produit ainsi défini manque le carré d'une unité.

Essayons de démontrer qu'en ajoutant 1 au produit, on obtient nécessairement un carré.

Récrivons ce produit autrement et effectuons le :

(n-1)n(n+1)(n+2) = n⁴+2n³-n²

on ajoute 1 ce qui donne :

n⁴+2n³-n²+1

essayons maintenant de montrer que c'est un carré c'est à dire quelque chose de la forme :

(n²+an+b)²

En effectuant le calcul on obtient:

(n²+an+b)²=n⁴+2an³+(a²+2b)n²+2abn+b²

On vérifie que si a=1 et b=-1 on a bien l'égalité cherchée.

n⁴+2n³-n²+1 est donc bien un carré

On vérifie aisément que deux carré d'entiers successifs ont toujours une différence supérieure à 1 (sauf 0 et 1 qui ne satisfont pas à nos hypothèses) et que par conséquent :

(n-1)n(n+1)(n+2) ne peut être un carré.

CQFD

Pénurie

Niklaus Vonderflu — Fri, 23 Feb 2007 19:37:00 +0100

photo : mainblanche

Premiers pas de ma fille,

Thème : De l'énergie.

Nous sommes à l'aube d'une révolution dans de notre façon de consommer, de nous déplacer et donc de nous rencontrer.

Etat des faits : le prix de l'énergie fossile, pénurie et concurrence oblige, va très prochainement nous contraindre à changer profondément notre rapport aux distances et au temps.

Le réalisme politique nous conduira sans doute à mener de plus en plus de guerres et d'alliances dans le seul but de garantir notre approvisionnement énergétique.

Les enjeux sont clairs : bien des pays ne pourront jamais rejoindre le niveau de confort connu en Europe ou ailleurs. Il s'agit donc de réussir à vivre ensembles, tous structurellement affamés autour du même morceau de viande.

Comment donc éviter les morts ?

Si comme on le sent aujourd'hui, il n'y a pas d'organisations non-gouvernementales qui arrivent à lutter politiquement contre les intérêts nationaux au communautaires, nous ne sauront pas éviter aux consciences le poids refoulé des égoïsmes, et donc des folies.

Comment donc réussir à se rencontrer correctement autour de ce problème sans pouvoir se toucher physiquement? Comment comprendre que la croissance ne sera bientôt plus ? Est-ce cela s'émanciper ?

Sommes-nous contraints de nous émanciper ?

Les moyens de communications que la jeunesse s'approprie aujourd'hui seront-ils à la hauteur des véritables mises en commun que le pragmatisme égalitaire recommande ?

Pessimiste...

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n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?

Pénurie