n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?

Niklaus Vonderflu — Thu, 02 Aug 2007 02:49:00 +0200

photo : hello_jed

Démontrez qu'il est impossible que le produit de quatre nombres entiers successifs supérieurs à 0 soit un carré.

Autrement dit que pour tout entier x et pour tout entier y différents de 0,

x(x+1)(x+2)(x+3) est différent de y²

On peut d'abord s'en convaincre par tâtonnements :

1 x 2 x 3 x 4 = 24 ; notons que 25 = 5 x 5

2 x 3 x 4 x 5 = 120 ; notons aussi que 121 = 11 x 11

3 x 4 x 5 x 6 = 360 ; notons enfin que 361 = 19 x 19

Il semble que tout produit ainsi défini manque le carré d'une unité.

Essayons de démontrer qu'en ajoutant 1 au produit, on obtient nécessairement un carré.

Récrivons ce produit autrement et effectuons le :

(n-1)n(n+1)(n+2) = n⁴+2n³-n²

on ajoute 1 ce qui donne :

n⁴+2n³-n²+1

essayons maintenant de montrer que c'est un carré c'est à dire quelque chose de la forme :

(n²+an+b)²

En effectuant le calcul on obtient:

(n²+an+b)²=n⁴+2an³+(a²+2b)n²+2abn+b²

On vérifie que si a=1 et b=-1 on a bien l'égalité cherchée.

n⁴+2n³-n²+1 est donc bien un carré

On vérifie aisément que deux carré d'entiers successifs ont toujours une différence supérieure à 1 (sauf 0 et 1 qui ne satisfont pas à nos hypothèses) et que par conséquent :

(n-1)n(n+1)(n+2) ne peut être un carré.

CQFD

philosophie - carré

n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?