philosophie - mathématiques

Problème de jalousie

Niklaus Vonderflu — Tue, 21 Aug 2007 13:01:00 +0200

Passer la rivière...

Trois maris jaloux se trouvent de nuit avec leurs femmes au passage d'une rivière où ils ne rencontrent qu'un petit bateau sans batelier, si étroit qu'il n'est capable que de deux personnes, on demande comment ces six personnes passeront deux à deux, tellement que jamais aucune femme ne demeure en compagnie d'un ou deux hommes si son mari n'est pas présent.

énigme proposée par cultureMATH

Utilisant l'idée évidente suivant laquelle les femmes ne risquent rien entre elles, j'arrive à la solution suivante

A,B, et C les maris et a,b et c leur femme respective.

	rive gauche	rivière	rive droite
0	Aa Bb Cc		.. .. ..
1	A. B. Cc	ab->	.. .. ..
2	A. B. Cc	<-a	.. .b ..
3	A. B. C.	ac->	.. .b ..
4	A. B. C.	<-a	.. .b .c
5	.. B. C.	Aa->	.. .b .c
6	.. B. C.	<-A	.a .b .c
7	.. .. C.	AB->	.a .b .c
8	.. .. C.	<-c	Aa Ab ..
9	. .. ..	Cc->	Aa Bb ..
10	.. .. ..		Aa Bb Cc

On peut se demander si cette procédure peut s'adapter à un nombre plus important de couples ou si 3 couples dans les conditions de jalousie données est un maximum.

La stratégie suivante semble fonctionner avec 4 couples :

	rive gauche	rivière	rive droite
0	Aa Bb Cc Dd		.. .. ..
1	A. B. Cc Dd	ab->	.. .. ..
2	A. B. Cc Dd	<-a	.. .b ..
3	A. B. C. Dd	ac->	.. .b ..
4	A. B. C. Dd	<-a	.. .b .c
5	A B. C. D.	ad->	.. .b .c
6	A B. C. D.	<-a	.. .b .c .d
7	.. B. C. D.	Aa->	.. .b .c .d
8	.. B. C. D	<-A	.a. .b .c .d
9	.. .. C. D.	AB->	.a. .b .c .d
10	.. .. C. D.	<-cd	Aa Bb .. ..
11	.. .. .. Dd	Cc->	Aa Bb .. ..
12	.. .. .. .Dd	<-a	A Bb Cc ..
13	.a .. .. ..	Dd->	A Bb Cc ..
14	.a .. .. ..	<-d	A Bb Cc D
15	.. .. .. ..	ad->	A Bb Cc D
16	.. .. .. ..		Aa Bb Cc Dd

Est-il possible de faire passer 5 couples ? Il est à noter qu'ici au point 10, on fait revenir deux femmes et que si une autre (transportée selon la même procédure qu'avant) restait sur la rive droite, elle se retrouverait en compagnie des deux hommes arrivés au point 9, cas de figure qui me semble être inévitable (puisque le bateau ne peut transporter que 2 personnes et que nous avons optimisé cette condition au point 10) peu importe la stratégie. Mais je n'arrive pas à m'en convaincre complètement.

Peut-être sauriez-vous trouvez une preuve mois confuse ou alors un contre exemple...

Géométrie de la règle - problème VI

Niklaus Vonderflu — Sun, 19 Aug 2007 14:02:00 +0200

photo : Nanci

Ressources : générer une image de ce type (une fois sur le site cliquez sur "lunch applet"). nécessite Java.
Site du concepteur : JARED TARBELL
Logiciel utilisé : Processing (beta)

Dans la série des problèmes proposée par Jean-Henri Lambert 1728-1777 dans ses 15 problèmes de géométrie de la règle dont j'ai déjà parlé dans un précédent article on en trouve un qui me plaît par l'astucieuse construction qu'il se propose de nous faire effectuer.

Voici d'abord le problème : Un cercle étant donné avec son centre, abaisser un perpendiculaire à une ligne donnée à l'aide d'une seule règle.

quant on sait à quel point il est aisé d'effectuer cette construction à l'aide du compas...

Choisir un point C sur la droite; tracer un cercle c qui détermine deux points E et D à partir desquels on trace deux cercles e et d de même rayon (supérieur à la distance EC), qui nous donnent deux point F et G à partir desquels ont peu tracer la perpendiculaire désirée.

... on est en droit de se demander comment on va s'en sortir avec la règle seulement.

Voici la construction proposée par Lambert (au nom des points près) :

1. On trace deux diamètre du cercle qui déterminent quatre points A,B,C et D formant un rectangle.
2. On prolonge les côtés de ce rectangle qui coupent la droite en FGH et I.
3. On choisi un point K sur le cercle entre A et D et on trace KH et KI qui coupent le diamètre AC en P et Q.
4. On trace alors FQ et GP qui se coupent en R.
5. On trace KR qui coupe le cercle en L (cette droite est parallèle à la droite donnée).
6. On trace le diamètre issu de K qui nous donne S sur le cercle.
7. La droite d1 passant par L et S est solution du problème.

Il s'agirait maintenant de démontrer l'adéquation de cette construction.
A vous de jouer...

Géométrie de la règle - problème V

Niklaus Vonderflu — Thu, 16 Aug 2007 23:00:00 +0200

photo : e-mago

Logiciel : GeoGebra - logiciel de géométrie gratuit

Quels problèmes géométriques peuvent être résolus uniquement avec une règle (non graduée) ?

Quand on sait que le compas permet de rapporter des longueurs dans nimporte quelle direction, on est en droit de se demander si l'on peut faire de la géomètre sans lui. Eh bien oui, cette géométrie s'appelle la géométrie projective et a donné lieu à des théorèmes remarquables comme le théorème de Pascal, le théorème de Pappus, le théorème de Desargues, le théorème d'Hessenberg.

Je vous propose aujourd'hui le problème suivant tiré de Jean-Henri Lambert 1728-1777 - les 15 problèmes de géométrie de la règle - PDF) cité dans l'article précédent:

Soit deux droites a et b qui se coupent à l'extérieur de la feuille de dessin, et un point E extérieur à ces droites. Comment construire la droite j passant par E de telle sorte qu'elle coupe les droites a et b au même point d'intersection?

Soit A et C deux points sur la droite a; B et D deux points sur la droite b.

1. On trace AE qui coupe b en H et BE qui coupe a en G.

2. On trace alors AB et GH qui se coupent en K.

3. On trace ensuite KC qui coupe b en D'.

4. On trace enfin HC et GD' qui se coupent en F.

5. La droite j solution du problème est la droite qui passe par E et F.

A vous de jouer...

n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?

Niklaus Vonderflu — Thu, 02 Aug 2007 02:49:00 +0200

photo : hello_jed

Démontrez qu'il est impossible que le produit de quatre nombres entiers successifs supérieurs à 0 soit un carré.

Autrement dit que pour tout entier x et pour tout entier y différents de 0,

x(x+1)(x+2)(x+3) est différent de y²

On peut d'abord s'en convaincre par tâtonnements :

1 x 2 x 3 x 4 = 24 ; notons que 25 = 5 x 5

2 x 3 x 4 x 5 = 120 ; notons aussi que 121 = 11 x 11

3 x 4 x 5 x 6 = 360 ; notons enfin que 361 = 19 x 19

Il semble que tout produit ainsi défini manque le carré d'une unité.

Essayons de démontrer qu'en ajoutant 1 au produit, on obtient nécessairement un carré.

Récrivons ce produit autrement et effectuons le :

(n-1)n(n+1)(n+2) = n⁴+2n³-n²

on ajoute 1 ce qui donne :

n⁴+2n³-n²+1

essayons maintenant de montrer que c'est un carré c'est à dire quelque chose de la forme :

(n²+an+b)²

En effectuant le calcul on obtient:

(n²+an+b)²=n⁴+2an³+(a²+2b)n²+2abn+b²

On vérifie que si a=1 et b=-1 on a bien l'égalité cherchée.

n⁴+2n³-n²+1 est donc bien un carré

On vérifie aisément que deux carré d'entiers successifs ont toujours une différence supérieure à 1 (sauf 0 et 1 qui ne satisfont pas à nos hypothèses) et que par conséquent :

(n-1)n(n+1)(n+2) ne peut être un carré.

CQFD