Paradoxe
Par Niklaus Vonderflu le quotidien du... mercredi, 28 février 2007, 19:48 - Pensées - Lien permanent
photo : Life on the Edge
Bataille,
Thème du jour : De la confirmation.
J'ai bataillé pendant une journée avec le paradoxe apparent d'Anaximandrake pour lui trouver une issue de bon sens, mais ne suis pas encore satisfait du résultat...
Je vous présente le paradoxe tel qu'il a été proposé :
Voici une exposition possible du paradoxe des corbeaux, dit aussi « de Hempel », et qui fut pourtant d’abord formulé par Nicod. A ne pas confondre avec celui « de l'Anglaise rousse », ce paradoxe est une illustration des joyeusetés de l'induction.
On a :
(1) « Ceci est un corbeau noir. »
(2) « Tous les corbeaux sont noirs. »
Or, tout énoncé général est confirmé par chaque occurrence d’un cas de son actualisation, c’est-à-dire chacune de ses instances.
Donc : (1) confirme (2).
Or l’instance d’un énoncé confirme l’énoncé logiquement équivalent. Si deux énoncés sont équivalents, confirmer l’un revient à confirmer l’autre, id est chaque instance de l’un s'avère être une confirmation de l’autre.
Soit donc un énoncé équivalent à (2). Par exemple :
(3) « Toutes les choses qui ne sont pas noires ne sont pas des corbeaux. »
Afin de faire apparaître la forme logique et satisfaire ainsi les mânes de Russell, transcrivons (3) en (3’) :
(3’) « Tout ce qui est non-noir est un non-corbeau. »
(2) et (3’) sont bien logiquement équivalents.
Soit alors :
(4) « Cette femme est blanche. »
(4) confirme (3’), puisque (4) est clairement une instance de (3’).
Donc, puisque (2) et (3’) sont équivalents, (4) confirme (2).
Par conséquent, que cette femme soit blanche est la confirmation que tous les corbeaux sont noirs.
Un premier argument qui permettrait d'invalider la conclusion du raisonnement, à savoir que (4) confirme (2), c'est de contester le fait que l'on puisse tirer des conclusions identiques du couple apparemment synonyme "confirmer / non-infirmer".
En effet, on dira que si A confirme B, alors on peut en déduire que B est probable; B devenant de plus en plus probable au fur et à mesure des confirmations, sauf si l'univers des choses susceptibles de confirmer B est infini.
On dira aussi que si A n'infirme pas B, alors on peut en déduire que B est possible; B restant possible tant que rien ne vient infirmer B, l'univers des choses pouvant l'infirmer étant fini ou infini.
Autrement dit, on peut mettre à mal la conclusion du paradoxe (apparent) en disant que (4) n'infirme pas (2), et rend donc (2) possible, mais pas plus probable. Il ne le confirme donc pas, il ne fait que le rendre plausible.
Le "hic" vient naturellement du fait que (4) confirme bien (3') équivalent à (2).
Autrment dit, comment faire en sorte que (4) ne confirme pas (2) ? Comment donc faire en sorte que la confirmation ne s'exporte pas à certains énoncés logiquement équivalents à (3') ?
Il faut sans doute s'attacher à cette notion d'équivalence logique et y trouver une discontinuité...
Qu'est-donc qui ne va pas dans le principe suivant lequel : si A confirme B, alors A confirme C équivalent logiquement à B ?
« Tout corbeau est noir » est bien logiquement équivalent à « aucune chose non-noire est un corbeau » et donc aussi à « Toute chose non-noire est un non-corbeau ».
Mais, et c'est sans doute ici que cela se joue, « Ce corbeau est noir», n'est pas une instance de « aucune chose non-noire est un corbeau », de la même façon que « cette femme est blanche», n'est pas une instance de « Tout corbeau est noir.».
Autrement dit, les instances ne passent pas cette équivalence logique là, elles deviennent pour ces énoncés logiquement équivalents des sortes de non-instances qui ne permettent de conclure qu'à des non-infirmations.
Autrement dit l'erreur de raisonnement dans ce paradoxe revient à prendre des non-instances pour des instances, ou plus précisemment des instances d'énoncés, pour des instances d'énoncés contraposés*.
Mais je doute encore un peu d'avoir trouver le fond.
* "Tout A est B" se contrapose en Tout non-B est non-A" et "Aucun non-B est A" ici : Px(Cx->Nx) <->Px (-Nx -> Cx) <-> -Ex(-Nx et Cx)
Commentaires
Suite de la discussion menée sur le lien donné dans l'article: la nuance apportée au texte ci-dessu revient à ne pas confondre instance et confiramtion pour mettre à mal le paradoxe, mais d'étudier les cas possibles :
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Après quelques réflexions je me permets de commenter encore une fois cet article et votre dernier commentaire :
Tout d'abord vous dites que "... l'univers dans lequel l'énoncé général en question a un sens physique est fini."
Il me semble que c'est clairement faux, si on entend "avoir un sens" par "être vrai ou faux". En effet, l'énoncé (2) a bien un sens dans un univers physique infini, que les corbeaux soient en nombre fini ou non, puisqu'il peut s'avérer vrai que tout les corbeaux soient noirs, même s'il sont en nombre infini. (mais peut-être parliez-vous de l'énoncé général que je cite dans mon prochain paragraphe...)
Ensuite, je crois avoir trouvé ce qui m'amenait à distinguer entre "confimation" et "non-infimation". En effet, un moment important du raisonnement qui conduit aux paradoxe, est celui où il est affirmé que : "... l’instance d’un énoncé confirme l’énoncé logiquement équivalent. Si deux énoncés sont équivalents, confirmer l’un revient à confirmer l’autre, id est chaque instance de l’un s'avère être une confirmation de l’autre." et où l'on fait donc croire que la confirmation "passe" l'équivalence logique.
Mais, de deux choses l'une: soit on dit que (1) confirme (2) parce que (1) est une instance de (2), soit on dit que (1) confirme (3) et (3') etc. parce que (1) est une instance de (2) (où (2) est logiquement équivalent à (3) et (3')), sans pour autant que (1) soit une instance de (3) et (3').
Dans le premier cas on ne dira pas que (1) confirme (3') (ni que (4) confirme (2)), car (1) n'est pas une instance de (3') (ni (4) de (2)). On dira au mieux qu'il le non-infirme, c'est à dire qu'il le rend possible tant que rien ne vient l'infirmer (univers fini ou non).
Dans le second cas, on entend par "confirmer" quelque chose de très fort, puisque tout ce qui n'infirme pas un énoncé universel le confirme, ou du moins le rend de plus en plus probable, sauf dans un univers infini d'instances où il ne fait que le rendre possible.
Remarquons par ailleurs que pour que le nombre d'instances ne soit pas infini, on doit supposer que l'univers physique est fini et que les instances ne peuvent pas être des nombres et que si l'on utilise des nombres pour parler par exemple du groupe de 4 femmes blanches, il ne doivent pas dépasser la cardinal de l'ensemble des parties de l'inivers fini (en supposant naturellement que les parties de l'univers physiques fini soient elles-même en nombre fini, autrement dit qu'on se refuse à prendre un nombre dénombrables des points de cet univers pour instances).
Bref, penser que (2) confirme (4) c'est faire un grand nombre d'hypothèses et c'est ne laisser aucune place pour un concept entre "confirmer" et "infirmer", car si "Il existe C qui est N, d'ailleurs il s'apelle Heckel" est une instance de "Tout C est N" alors la contraposée "tout non-N est non-C" défini un univers d'instances qui est le complémtaire exact des instances de "tout C est N". Autrement dit, tout objet existant pour autant qu'il ne soit pas noir et en même temps corbeau est une instance de "Tout non-noir est non-corbeau", et donc confirme (2). Ceci a le fâcheux invénient de rabattre le possible sur le probable pour les énoncés universels, alors que nous tenons sans doute pouvoir dire par exemple qu'il est possible que nous soyons les seuls êtres capables de diviser 200 par 10 dans l'unviers, sans pour autant que nous ayons à dire qu'il est probable qu'il en est ainsi. Nous ne voyons pas en effet l'existence de la lune comme une confirmation de notre énoncé. Nous préférons en effet dire que l'existence de la lune est indifférente à cette supposition, et qu'elle ne la rend que possible ou plausible puisqu'elle ne l'infirme pas.
En tout les cas, sans avoir sans doute touché le fond du problème, je vous remercie d'avoir attiré mon attention sur ce paradoxe et de m'avoir donné la réplique dans ma réflexion.
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1 "ceci est un corbeau"
2 tous les corbeaux sont noirs (avec des nuances de noirs)
3 les corneilles aussi
4 cette femme est blanche
Question : Peut-elle avoir des nuances de blanc comme le noir plumage des corbeaux ? Quelles sont les probabilités que cette femme blanche soit une corneille ?
JDN,
sérieusement, peu importe comment l'on définit noir ou blanc, tout ce qui compte c'est que ce qui est blanc ne soit pas noir, même si quelqu'un aurait préféré mettre tel objet dans l'autre catégorie, ce qui compte c'est qu'il soit d'accord que toi tu choisisse de le mettre dans celle-ci ou dans celle-là, en tous les cas qu'il en prène acte.
Concernant la probabilité dont tu parles, en raison de ce que je viens de dire, elle est nulle.
Je ne comprends pas ce paradoxe!
Pour moi en fait il n'y a aucun paradoxe puisque :
(4) confirme (3’) est une affirmation FAUSSE.
En effet « Cette femme est blanche. » ne confirme pas du tout que « TOUT ce qui est non-noir est un non-corbeau. ».
Mais bien sur je suis d'accord sur le fait que (4) n'infirme pas (3’).
En tout cas pour moi le seul moyen pour que (4) confirme (3’) serait que la phrase "l'univers dans lequel l'énoncé général en question a un sens physique est fini" signifit que cet univers se compose uniquement d'une femme blanche et de plusieurs corbeaux et autres choses noires. Auquel cas "Cette femme est blanche ET C'EST LE SEUL ÊTRE NON NOIR" confirme (3'). Même dans ce cas (4) doit quand même rappeler les propriétés de l'univers dans lequel on est pour confirmer (3').
Je suis comme vous à m'étonner de la puissance de la négation. Mais il me semble bien, que dans un univers standard, c'est bien tout ce qui n'est pas noir et qui n'est pas un corbeau, c'est à dire même les nombres pour être généreux, qui est un bon candidat pour augmenter la probabilité que "tout les corbeaux sont noirs" soit vrai. Il faut bien entendu distinguer "confirmer" qui se rapporte à la probabilité de "prouver" qui se rapporte à la certitude, ou à la nécessité.