n(n+1)(n+2)(n+3)=carré ?
Par Niklaus Vonderflu le quotidien du... jeudi, 2 août 2007, 02:49 - Pensées - Lien permanent
photo : hello_jed
Démontrez qu'il est impossible que le produit de quatre nombres entiers successifs supérieurs à 0 soit un carré.
Autrement dit que pour tout entier x et pour tout entier y différents de 0,
x(x+1)(x+2)(x+3) est différent de y2On peut d'abord s'en convaincre par tâtonnements :
1 x 2 x 3 x 4 = 24 ; notons que 25 = 5 x 5
2 x 3 x 4 x 5 = 120 ; notons aussi que 121 = 11 x 11
3 x 4 x 5 x 6 = 360 ; notons enfin que 361 = 19 x 19
Il semble que tout produit ainsi défini manque le carré d'une unité.
Essayons de démontrer qu'en ajoutant 1 au produit, on obtient nécessairement un carré.
Récrivons ce produit autrement et effectuons le :
(n-1)n(n+1)(n+2) = n4+2n3-n2on ajoute 1 ce qui donne :
n4+2n3-n2+1
essayons maintenant de montrer que c'est un carré c'est à dire quelque chose de la forme :
(n2+an+b)2
En effectuant le calcul on obtient:
(n2+an+b)2=n4+2an3+(a2+2b)n2+2abn+b2
On vérifie que si a=1 et b=-1 on a bien l'égalité cherchée.
n4+2n3-n2+1 est donc bien un carré
On vérifie aisément que deux carré d'entiers successifs ont toujours une différence supérieure à 1 (sauf 0 et 1 qui ne satisfont pas à nos hypothèses) et que par conséquent :
(n-1)n(n+1)(n+2) ne peut être un carré.
CQFD
Commentaires
nous sommes ici dans le domaine de l'esthétique - comme le confirme cette image du tableau 11 /
je m'émerveille devant cet inconnu /
Cet inconnu m'a émerveillé pendant plus d'un an, avant qu'aujourd'hui je le reconnaisse en quelque sorte. Le problème à toutefois plusieurs démonstrations donc plusieurs visages, dont un encore au moins m'interpelle. Il fera sans doute l'objet d'un autre hommage.