philosophie

En effet, un petit calcul nous en convainc très vite.

Tout le monde ou presque se souvient de la formule mathématique permettant de calculer le périmètre P d'un cercle à partir de son rayon R :

P = 2πR avec π ≅ 3.14159

Si mon ballon de basket possède un rayon R alors ma corde rouge (distante d'un mètre de ce ballon) aura un

périmètre = 2π(R+1) = 2πR + 2π

La différence Δ de longueur des deux cordes est donc aisément calculable :

Δ = 2πR + 2π - 2πR = 2π ≅ 6.28 m

On voit que ce résultat ne dépend pas du rayon. Petit pois, terre ou galaxie, la différence sera toujours de 6.28 m!

Est-il possible de faire coller l'intuition à la réalité ?

Plutôt que d'imaginer des objets, essayons d'abord de les voir.

• Un petit cercle avec une corde rouge distante d'1 m

• Un grand cercle avec une corde rouge distante d'1 m

Chercher à estimer dans les deux cas la différence de longueur entre la corde noire et la rouge n'est pas évident. On a de la peine à "dérouler" ces cordes et les mettre à plat afin de les comparer. Même si en passant de l'imagination à l'image on gagne en concret (car on perd en effet peut être ce phantasme d'un voyage autour de l'équateur où l'on observerait tout du long, comme dans un film accéléré, cette distance d'un mètre entre la corde et le sol; voyage gigantesque, dont la longueur à tôt fait d'ajouter sur toute sa longueur, justement, des bouts supplémentaires à la corde rouge), et qu'on commence à "sentir" que cette différence n'est pas "si grande que ça", on peine encore à trouver une méthode, un point d'appui, autre que le calcul, qui permettrait de "voir" ou de "saisir" cette égalité.

Il me semble que passer d'un cercle à l'autre par étapes n'aide pas beaucoup plus. voyons ça :

• Quelques cercles avec des cordes rouges distantes d'1 mètre

Le seul gain de ces représentations successives consiste peut-être à se rendre compte que ce n'est pas par transition que l'intuition trouve son appui ici. Il lui manque un point de repère qui, par exemple, servirait à se rendre compte que l'angle formé par ces 6.28 m de corde, décroît au fur et à mesure que la taille du cercle augmente.

Essayons autre chose. Prenons un carré et posons nous la même questions.

Est-il évident, ou en tous les cas, plus intuitif que dans un carré la différence entre des cordes qui satisfont aux mêmes conditions n'augmente pas avec la taille du coté de ce carré ?

Allons encore plus loin, et demandons nous, s'il en va de même avec d'autres polygones réguliers, comme un pentagone, ou un décagone.

• Carré, pentagone et décagone avec des cordes rouges distantes d'1 mètre.

Il semble intuitif que pour un carré, la différence de longueur entre la corde rouge et la corde noire, ne vas pas changer si le côté de ce carré augmente de taille, puisque cette différence consiste évidemment en ces petits arcs de cercles formés dans les coins qui ne vont pas changer de taille si la longueur du côté augmente. Il en va me semble-t-il intuitivement de même pour le pentagone et le décagone.

Plus remarquable encore, la somme de ces arcs de cercle formés dans les coins du carré donne elle-même un cercle complet. On s'en persuade facilement, puisque chacun de ces arcs est construit sur un angle droit. Suivant cette évidence, on saisi vite que la somme des arcs de cercles formés dans les coins du pentagone et du décagone forment eux aussi un cercle, puisque par translation, l'imagination n'a pas de peine à les "coller" les uns aux autres, en raison de la parallélité des côté opposées des tranches formées. Ainsi il semble évident que la longueur de la corde rouge excèdera toujours celle de la corde noir d'une longueur égale à un périmètre de cercle de rayon de 1 mètre.

Assuré de cette relation, et même si l'imagination n'arrive pas à se représenter un polygone régulier à 1000 côtés, la raison se persuade aisément que la somme des petits arcs de cercles formés sur ses mille sommets donnera elle-aussi un cercle. Dès lors, la "bonne" pompe à intuition peut fonctionner à plein régime et faire tendre le nombre des côtés à l'infini en même temps que les arcs de cercle de la corde rouge devenant infiniment petits n'en forment pas moins, une fois qu'on les somme, un cercle de rayon 1. A la limite, on obtient les cercles du problème initial et une réponse plus assurée: non, la différence de longueur entre la corde rouge et la corde noire ne varie pas en fonction du rayon du cercle.