quadratures photo : hello_jed

Démontrez qu'il est impossible que le produit de quatre nombres entiers successifs supérieurs à 0 soit un carré.

Autrement dit que pour tout entier x et pour tout entier y différents de 0,

x(x+1)(x+2)(x+3) est différent de y2

On peut d'abord s'en convaincre par tâtonnements :

1 x 2 x 3 x 4 = 24 ; notons que 25 = 5 x 5

2 x 3 x 4 x 5 = 120 ; notons aussi que 121 = 11 x 11

3 x 4 x 5 x 6 = 360 ; notons enfin que 361 = 19 x 19

Il semble que tout produit ainsi défini manque le carré d'une unité.